সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ (৬.৪)

সপ্তম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ - গণিত | NCTB BOOK

888

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশও বলে। এক্ষেত্রে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর সমান করতে হয়। $\frac{a}{2 b} ও \frac{m}{3 n}$ ভগ্নাংশ দুটি বিবেচনা করি। ভগ্নাংশ দুইটির হর 26 এবং 3n এর ল.সা.গু. 6bn.

অতএব, দুটি ভগ্নাংশেরই হর 6bn করতে হবে।

এখানে, $\frac{a}{2 b} = \frac{a \times 3 n}{2 b \times 3 n} [∵ 6 b n \div 2 b = 3 n]$

$= \frac{3 a n}{6 b n}$

এবং $\frac{m}{3 n} = \frac{m \times 2 b}{3 n \times 2 b} [∵ 6 b n \div 3 n = 2 b]$

$= \frac{2 b m}{6 b n} .$

∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটি $\frac{3 a n}{6 b n}, \frac{2 b m}{6 b n}$

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করার নিয়ম

ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু. বের করতে হয়।
ল.সা.গু. কে প্রত্যেক ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করে ভাগফল বের করতে হয়।
প্রাপ্ত ভাগফল দ্বারা সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ৪। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর: $\frac{a}{4 x}, \frac{b}{2 x^{2}}$

সমাধান: হর 4x এবং 2x² এর ল.সা.গু. 4x²

∴ $\frac{a}{4 x}$ $= \frac{a \times x}{4 x \times x}$ $[∵ 4 x^{2} \div 4 x = x]$

$= \frac{a x}{4 x^{2}}$

এবং $\frac{b}{2 x^{2}} = \frac{b \times 2}{2 x^{2} \times 2} [∵ 4 x^{2} + 2 x^{2} = 2]$

$= \frac{2 b}{4 x^{2}}$

∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{a x}{4 x^{2}}, \frac{2 b}{4 x^{2}}$

উদাহরণ ৫। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর কর:

$\frac{2}{a^{2} - 4}, \frac{5}{a^{2} + 3 a - 10}$

সমাধান:

১ম ভগ্নাংশের হর $= a^{2} - 4 = (a + 2) (a - 2)$

২য় ভগ্নাংশের হর $= a^{2} + 3 a - 10 = a^{2} - 2 a + 5 a - 10$

$= a (a - 2) + 5 (a - 2) = (a - 2) (a + 5)$

হর দুইটির ল.সা.গু. (a + 2)(a - 2)(a + 5)

এবার ভগ্নাংশগুলোকে সমহরবিশিষ্ট করি।

∴ $\frac{2}{a^{2} - 4} = \frac{2}{(a + 2) (a - 2)} = \frac{2 x (a + 5)}{(a + 2) (a - 2) \times (a + 5)}$ [লব ও হরকে (a + 5) দ্বারা গুণ করে]

এবং $\frac{5}{a^{2} + 3 a - 10} = \frac{5}{(a - 2) (a + 5)} = \frac{5 \times (a + 2)}{(a - 2) (a + 5) \times (a + 2)}$ [লব ও হরকে (a + 2) দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{5 (a + 2)}{(a^{2} - 4) (a + 5)}$

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ দুটি $\frac{2 (a + 5)}{(a^{2} - 4) (a + 5)}, \frac{5 (a + 2)}{(a^{2} - 4) (a + 5)}$

উদাহরণ ৬। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত কর।

$\frac{1}{x^{2} + 3 x}, \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}, \frac{3}{x^{2} - x - 12}$

সমাধান: ১ম ভগ্নাংশের হর $= x^{2} + 3 x = x (x + 3)$

২য় ভগ্নাংশের হর = $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)

৩য় ভগ্নাংশের হর = $x^{2} - x - 12 = x^{2} + 3 x - 4 x - 12$

= x(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x - 4)

হর তিনটির ল.সা.গু. x(x + 2)(x + 3)(x - 4)

এবার ভগ্নাংশগুলোকে সমহরবিশিষ্ট করি-

∴ ১ম ভগ্নাংশ $= \frac{1}{x^{2} + 3 x} = \frac{1 x (x + 2) (x - 4)}{x (x + 3) \times x (x + 2) (x - 4)} = \frac{(x + 2) (x - 4)}{x (x + 2) (x + 3) (x - 4)}$